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幅優先探索

幅優先探索（はばゆうせんたんさく、英: breadth first search）はグラフ理論(Graph theory)において木構造(tree structure)やグラフ(graph)の探索に用いられるアルゴリズム。アルゴリズムは根ノードで始まり隣接した全てのノードを探索する。それからこれらの最も近いノードのそれぞれに対して同様のことを繰り返して探索対象ノードをみつける。「横型探索」とも言われる。

幅優先探索は解を探すために、グラフの全てのノードを網羅的に展開・検査する。最良優先探索とは異なり、ノード探索にヒューリスティクスを使わずに、グラフ全体を目的のノードがみつかるまで、目的のノードに接近しているかどうかなどは考慮せず探索する。

アルゴリズム

根ノードを空のキューに加える。
ノードをキューの先頭から取り出し、以下の処理を行う。
- ノードが探索対象であれば、探索をやめ結果を返す。
- そうでない場合、ノードの子で未探索のものを全てキューに追加する。
もしキューが空ならば、グラフ内の全てのノードに対して処理が行われたので、探索をやめ"not found"と結果を返す。
2に戻る。

ノードの展開により得られる子ノードはキューに追加される。訪問済みの管理は配列やセットなどでも行える。

擬似コード

v は頂点。

function 幅優先探索(v)
    Q ← 空のキュー
    v に訪問済みの印を付ける
    v を Q に追加
    while Q が空ではない do
        v ← Q から取り出す
        v を処理する
        for each v に接続している頂点 i do
            if i が未訪問 then
                i に訪問済みの印を付ける
                i を Q に追加

アルゴリズムの特徴

時間計算量

最悪の場合、幅優先探索は全ての経路を考慮に入れる必要があるので、幅優先探索の時間計算量はO(|E|)である。ここで|E|はグラフ内の辺の数である。

空間計算量

見つかったノードを全て記録する必要があるので、幅優先探索の空間計算量はO(|V|)となる。ここで|V|はグラフ内のノードの数である。または、 $O(B^{M})$ ということができる。Bは枝分かれの最大数で、Mは木の最長経路の長さ。指数関数故に、幅優先探索は大量の情報から探索する事に向かない根拠になる。

完全性

幅優先探索は完全である。つまり解が存在する場合はグラフの構造によらず、解をみつけることができる。しかしグラフが無限で探索対象の解が存在しない場合、幅優先探索は終了しない。

最適性

一般に幅優先探索は最適で、常に開始ノードと終了ノードの長さが最も少ない辺を返す。もしグラフが重みつきならば、最初のノードの隣のノードが最良のゴールとは限らないが、この問題は辺のコストを考慮に入れた均一コスト探索(Uniform cost search)で解決できる。